Introdução
É comum pensar que a probabilidade é algo direto e fácil de entender, mas muitas vezes ela nos surpreende com resultados inesperados. Um exemplo famoso disso é o Paradoxo do Aniversário. O nome pode sugerir algo sem solução, mas, na verdade, trata-se de um problema com uma resposta bem definida, apenas muito distante da nossa intuição.
A questão é simples: qual a probabilidade de que, em um grupo de pessoas, pelo menos duas compartilhem a mesma data de aniversário?
Se você está pensando que essa probabilidade é bem baixa e só começa a ser relevante em grupos muito grandes, prepare-se para se surpreender.
Calculando a Probabilidade
Para calcular a probabilidade de em um grupo de pessoas, pelo menos duas possuírem as mesmas datas de aniversário, faremos algumas suposições e aproximações a fim de simplificar as contas:
- Todas as datas de aniversário têm a mesma probabilidade (365 dias no ano);
- Não há gêmeos no grupo;
- As datas de nascimento são independentes entre si.
Com isso, vamos começar com um caso simples: um grupo com 5 pessoas. Para esse cálculo, vamos usar um recurso comum na probabilidade, o complementar. Em vez de calcular diretamente a chance de pelo menos dois aniversários coincidirem, é mais fácil calcular a chance de todos os aniversários serem diferentes e subtrair esse valor de 1.
Assim sendo, vamos considerar pessoa por pessoa do nosso grupo.
- A primeira pode ter qualquer uma das 365 datas. Logo, a probabilidade é dada por:
[math] \displaystyle \frac{365}{365} = 1[/math] - A segunda deve ter um aniversário diferente da primeira. Restam 364 datas, com probabilidade:
[math] \displaystyle \frac{364}{365}[/math] - A terceira deve ter uma data diferente das duas anteriores:
[math] \displaystyle \frac{363}{365}[/math] - A quarta:
[math] \displaystyle \frac{362}{365}[/math] - A quinta:
[math] \displaystyle \frac{361}{365}[/math]
Com isso, multiplicando todas essas probabilidades, temos que a probabilidade de todos os 5 possuírem datas de aniversário diferentes é de:
[math] \displaystyle \frac{365}{365} . \frac{364}{365} . \frac{363}{365} . \frac{362}{365} . \frac{361}{365}= 0.973 [/math]
Logo, a probabilidade de que em um grupo de 5 pessoas pelo menos duas pessoas tenham as mesmas datas de aniversário é dada por:
[math] 1 – 0.973 = [/math]
Generalização da Fórmula
Com o cálculo para um grupo de 5 pessoas devidamente realizado, seguindo a mesma estratégia podemos calcular a probabilidade de interesse para um grupo de [math]N [/math] pessoas, mas para [math] N [/math] menor ou igual a 365, uma vez que a partir desse valor é garantido que pelo menos duas pessoas tenham a mesma data de aniversário.
Dessa forma, seguindo a mesma lógica do cálculo anterior, para um grupo de tamanho [math] N [/math], a probabilidade de que todas tenham uma data de aniversário distinta é:
[math] \displaystyle \frac{365}{365} . \frac{364}{365} . \frac{363}{365} … \frac{365 – N + 2}{365} . \frac{365 – N + 1}{365} = \frac{365!}{365^N.(365 – N)!} [/math]
Logo, a probabilidade de que, em um grupo de N pessoas, pelo menos duas possuam o mesmo aniversário é de:
[math] \displaystyle 1 – \frac{365!}{365^N.(365 – N)!} [/math]
Intuitivamente, espera-se que essa probabilidade só se torne significativa para grupos muito grandes, mas veja a surpresa: com apenas 23 pessoas, essa probabilidade já ultrapassa 50%. A tabela abaixo apresenta a probabilidade de pelo menos dois aniversários iguais para alguns valores de N:
Além disso, o gráfico abaixo apresenta como essa probabilidade cresce rapidamente conforme o tamanho do grupo aumenta:
Conclusão
O Paradoxo do Aniversário mostra como nossa intuição pode falhar ao lidar com probabilidades, especialmente em situações que envolvem combinações. Mesmo com poucos indivíduos, a chance de coincidência é surpreendentemente alta. Essa é mais uma prova de que, em probabilidade, confiar apenas no “achismo” pode nos levar a conclusões erradas.
